Techniques numériques pour le traitement du signal
Source: http://www.essi.fr/~leroux/
Auteur: Joel Le Roux
Table des matières
Introduction
Essai de caractérisation du domaine couvert par le traitement du signal
Les principales classes d'applications
Plan du cours
Principales bases théoriques
Théorie des systèmes linéaires invariants dans le temps ou filtres
Une propriété importante des systèmes linéaires invariants dans le temps
Autres représentations des systèmes
Notions importantes: causalité et stabilité
Représentation des signaux dans le domaine des fréquences, la transformée de Fourier
Représentation des signaux périodiques sous la forme de séries de Fourier
Quelques propriétés des séries de Fourier
La transformée de Fourier
Quelques propriétés de la transformée de Fourier
Translation dans le domaine temporel
Multiplication par une sinusoïde, translation en fréquence
Transformée de Fourier d'une convolution
Transformée de Fourier d'un produit de fonctions
Conservation de l'énergie, théorème de Parseval
Représentation simultanée des transformées de Fourier des signaux périodiques et des signaux quelconques
L'échantillonnage des signaux
Interprétation de l'échantillonnage dans le domaine des fréquences
Reconstruction du signal à temps continu à partir des échantillons
Reconstruction idéale
Reconstruction effective des signaux à temps continu
La quantification des signaux
La représentation des signaux échantillonnés et des filtres numériques, la transformée en z
Définition de la transformée en z
Propriétés de la transformée en z
Linéarité
Rayons de convergence
Décalage des signaux
Transformée d'une convolution discrète
L'inverse de la transformée en z
Autre expression de la transformée en z inverse
Transformée en z d'un produit, convolution circulaire
Relation avec la transformée de Fourier
Expression du carré module de la transformée de Fourier en termes de transformée en
Liens avec la transformée de Laplace
Le filtrage des signaux échantillonnés
Rappel sur la convolution discrète
Réponse en fréquence d'un filtre
Causalité, Stabilité
Les filtres à réponse impulsionnelle finie
Interprétation de l'effet du filtre dans le domaine des fréquences
Les filtres à réponse impulsionelle symétrique
Filtre à déphasage minimal
Les filtres à réponse impulsionnelle infinie
Stabilité des filtres récursifs
Analyse de la stabilité du filtre récursif : l'algorithme de Schur-Cohn
exemples de filtres du premier et du deuxième ordre
Analyse en fréquence d'un filtre non récursif du premier ordre
Analyse en fréquence d'un filtre récursif du premier ordre
Analyse en fréquence d'un filtre non récursif du deuxième ordre
Analyse en fréquence d'un filtre récursif du deuxième ordre
Notions sur la synthese des filtres numériques
Filtres à réponse impulsionnelle finie
Synthèse des filtres récursifs
Utilisation des techniques de prédiction linéaire
Structures de filtres récursifs
Différentes décompositions possibles
Filtre en treillis
Représentation d'état
La transformée de Fourier discrète
La transformée de Fourier discrète
La transformée inverse
Les propriétés de la transformée de Fourier discrète
La transformée en cosinus
L'algorithme de calcul de transformée de Fourier rapide
Calcul du nombre d'opérations à effectuer
Remarques pratiques
Les limitations en résolution de la transformée de Fourier discrète
Les fenêtres d'analyse spectrale
Présentation graphique des résultats de la transformée de Fourier discrète
Signaux aléatoires
Les principales notions de probabilités utilisées
La moyenne ou moment du premier ordre
Moment du deuxième ordre, variance et corrélation
Les résultats principaux concernant les signaux aléatoires réels à temps continu
Moyenne
Fonction d'autocorrélation
Densité spectrale
Cas des variables aléatoires gaussiennes
Le bruit blanc
Filtrage des signaux aléatoires
Représentation des signaux comme le résultat du filtrage d'un bruit blanc
Les signaux aléatoires échantillonnés
L'échantillonnage des signaux aléatoires
Moyenne et fonction de covariance des signaux aléatoires échantillonnés
Cas des signaux stationnaires et ergodiques
Fonction d'intercorrélation
Densité spectrale des signaux aléatoires échantillonnés
Justification approximative du calcul de la densité spectrale à partir de la fonction d'autocorrélation
Calcul de la fonction d'autocorrélation à partir de la densité spectrale
Un exemple en transmission numérique
Séquences d'échantillons indépendants et identiquement distribués
Génération d'une séquence de variables pseudo aléatoires
Filtrage des signaux aléatoires échantillonnés
Estimation spectrale
Filtrage de Wiener
Application à la séparation d'un signal et d'un bruit
Expression d'une solution causale et stable
Mise en øeuvre dans un cas simple
Blanchiment, factorisation spectrale
Prédiction linéaire
Modèles autorégressifs
Algorithme de Levinson
Equivalence des algorithmes de Levinson et de Schur Cohn
Cas des signaux vectoriels et complexes
Justification de la méthode d'identification
Critère de similarité entre densités spectrales
Application à l'analyse et la synthèse de la parole
spectre à court terme
modèle: pôles, réponse en fréquence réponse impulsionnelle
Application à la synthèse de filtres linéaires
Modèles à moyenne mobile (MA), factorisation spectrale
Techniques numériques pour le traitement du signal