Reconstruction du signal à temps continu à partir des échantillons
L'opération d'addition des reproductions décalées de la transformée de Fourier n'est pas, en général une opération réversible: supposons par exemple que le signal à temps continu x(t) est réel et a une composante non nulle aux fréquence
et
. On aura
Lors de l'échantillonnage, on additionnera les
répliques décalées de ces composantes, si bien que le résultat
sera nécessairement une composante réelle en
et
: l'information sur la partie imaginaire de 
sera perdue.
Pour reconstituer un signal à temps continu à partir de ses
échantillons, il faut que le signal continu avant échantillonnage
respecte certaines contraintes
- Il ne faut pas qu'une composante à une fréquence 
du
signal échantillonné provienne de plusieurs composantes du signal
à temps continu (du fait de l'addition des répliques de la transformée de
Fourier du signal à temps continu).
- Il faut, pour chaque composane du signal échantillonné, connaître
la bande de fréquence de largeur 
dont elle était
originaire dans le signal à temps continu.
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a une bande passante plus large
que la moitié de la fréquence d'échantillonnnage: la reconstruction par filtrage passe-bas du signal échantillonné ne redonne pas le signal original 
(Théorème de Shannon: la bande de fréquence occupée par un signal réel doit être inférieure à la
moitié de la fréquence d'échantillonage). Dans ce cas, les
répliques de 
ne se chevauche pas et on connait la
bande de fréquence initiale du signal 
.
Dans le
cas des signaux complexes, il n'y a pas nécessairement symétrie
de l'amplitude des composantes pour les fréquences positives ou
négatives.
Dans ce cas la reconstruction correcte suppose que la
bande de fréquence (incluant les fréquences positives et négatives) occupée par le signal soit inférieure à la
fréquence d'échantillonnage.
La fréquence d'échantillonnage doit ainsi être adaptée à la bande
de fréquence occupée par le signal: il apparaît que le signal
vocal est clairement intelligible si on le réduit à une bande de
fréquence de 0 à 4 kHz. En conséquence, la parole en téléphonie
numérique est échantillonnée à 8 kHz. L'oreille peut être sensible
aux sons jusqu'à 20 kHz, ce qui amène les systèmes numériques de
transmission et de mémorisation de son haute fidélité à
échantilloner les signaux à 44.1 kHz. Le débit de prise de vues au cinéma est de 24 images par seconde et de 25 images par seconde en
vidéo. Un signal vidéo SECAM (pour la luminance seulement) est composé de 576
lignes de 720 échantillons (ou pixels) par trame (par image).
Remarque L'échantillonnage peut être interprété comme une
modulation du signal analogique par différentes porteuses aux
fréquences multiples de la fréquence d'échantillonnage. On peut
dans certaines applications utiliser cette remarque pour moduler
et démoduler des signaux en transmission numérique.
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