Les propriétés de la transformée de Fourier discrète

Toutes les propriétés de la transformée de Fourier et de la transformée en sont conservées, en particulier la transformée d'une convolution discrète est un produit. Toutefois l'utilisation de cette propriété nécessite quelques précautions. En effet il ne faut pas oublier que les séquences pour lesquelles on calcule les transformées de Fourier discrètes sont périodiques et tenir compte de ce fait dans les calculs. Soit la convolution discrète
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C'est une convolution circulaire, l'indice est calculé modulo . Si , et sont les transformées des séquences , et , on a
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On introduit artificiellement
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On pose , et on peut écrire, du fait de la périodicité des signaux
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Ce résultat n'est valable que pour les convolutions circulaires. Pour l'étendre au cas des signaux de durée finie, il faut s'assurer que la somme des durées et pendant lesquels les deux signaux et sont non nuls est inférieure à . En effet, dans ce cas la durée du résultat de la convolution sera égale à Ceci est illustré sur les exemples de la figure 52.

Figure 52: Illustration du repliement dans le domaine temporel obtenu lorsqu'on calcule une convolution en utilisant une transformée de Fourier discrète (signaux de la colonne a). Pour que l'effet du repliement n'apparaisse pas il faut dans ce cas que les deux signaux aient une durée inférieure à la moitié de la durée de la fenêtre utilisée pour le calcul de transformée de Fourier (signaux de la colonne b)

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