Soit un signal aléatoire 
qu'on filtre par un filtre
linéaire invariant au cours du temps de réponse impulsionnelle 
et de réponse en fréquence 
.
On connait la fonction d'autocorrélation et la densité
spectrale de , soient 
et 
. On cherche
à trouver la densité spectrale 
et la fonction
d'autocorrélation 
de 
signal de sortie du filtre.
La sortie du filtre est
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(249) |
La fonction d'autocorrélation de est
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(250) |
En éludant le problème de la commutation des calculs de moyennes
et de sommations
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(251) |
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(252) |
On pose 
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(253) |
et 
,
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(254) |
On remarque que
ne dépend que de 
, ce
qui implique la stationnarité de . La stationnarité implique
que l'autocorrélation et la densité spectrale existent.
On remarquera aussi que est un double calcul de convolution
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(255) |
ou encore
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(256) |
SI 
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(257) |
qu'on écrira
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(258) |
où on a posé
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(259) |
Nous appellerons 
la transformée de Fourier de 
.
La transformée d'une convolution étant un produit
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(260) |
Dans le domaine
des fréquences, on calcule la transformée de Fourier 
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(261) |
en posant 
,
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(262) |
C'est la transformée de Fourier d'une convolution qui s'écrit donc
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(263) |
En remplaçant par sa valeur (260)
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(264) |
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(265) |
La densité spectrale de la sortie du filtre est égale à la densité
spectrale de l'entrée multipliée par le carré du module de la réponse
en fréquence du filtre. Ce résultat est fondamental pour un bon nombre
d'applications. Il est tout à fait cohérent avec le résultat sur le
filtrage des signaux déterministes pour lesquels on a
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(266) |
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