Un exemple en transmission
numérique
On considère un signal 
constitué d'une suite de créneaux de
durée 
et prenant aléatoirement la valeur 
avec la
probabilité 
(fig. 64). C'est un signal couramment utilisé en
télécommunications.
Figure 64:
Un signal aléatoire utilisé en télécommunications.
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Les instants 
où la valeur de peut changer dépendent
de la réalisation : pour chaque réalisation 
, il y a un retard aléatoire 
équiréparti entre 
et .
La moyenne de est nulle.
Deux valeurs
et 
sont indépendantes si 
. On cherche
la fonction d'autocorrélation et la densité spectrale de
Pour calculer
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(293) |
On considère les deux cas
et 
. Dans le deuxième cas, il y a au moins un
changement de données entre les instants 
et 
. Les
valeurs de et de 
sont donc indépendantes et
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(294) |
On vérifie a posteriori que 
ne dépend pas de ,
est donc un signal stationnaire.
Dans le premier cas, conservera sa valeur si les instants
et appartiennent au même intervalle de durée et
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(295) |
La probabilité de ce cas de figure est
: il faut
que
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(296) |
Si ce n'est pas le cas, sera une variable indépendante de
. Cette situation se produit lorsque
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(297) |
prend donc la valeur 
avec la probabilité
et la valeur 
avec la probabilité
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(298) |
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(299) |
La fonction d'autocorrélation étant symétrique
La densité spectrale de ce signal est donnée par la transformée de
Fourier de (fig. 65).
La transformée d'une fonction ``triangle''
de largeur 
est la transformée d'une convolution d'une fonction créneau de
largeur par elle-même.
Par conséquent, la transformée de Fourier d'une convolution étant
un produit, la transformée de Fourier de est
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(301) |
Figure 65:
Autocorrélation et densité spectrale d'un signal télégraphique .
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