La transformée de Fourier de la fonction d'autocorrélation est la
densité spectrale. On peut en donner les deux écritures,
l'expression en fonction des fréquences ou l'expression sous la
forme d'une transformé en 
définie dans une couronne entourant
le cercle de rayon un.
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(277) |
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(278) |
Tout comme dans le cas des signaux à temps continu, cette densité
spectrale est la moyenne du carré du module de la transformée de
Fourier
d'une réalisation du processus aléatoire
. C'est une fonction non négative. Plus généralement, la
fonction d'autocorrélation est définie positive, c'est à dire que
pour toute
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(279) |
Par exemple, si la fonction d'autocorrélation d'un signal est
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(280) |
où 
, sa densité spetrale s'écrit
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(281) |
On peut écrire en séparant la somme en deux, l'une pour les temps
positifs, l'autre pour les temps négatifs
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(282) |
La première série converge vers 
à condition que
; la seconde converge vers
à condition que
. La densité spectrale est définie dans la couronne
, son expression est
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(283) |
Sa valeur sur le cercle de rayon un est
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(284) |
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(285) |
Elle est toujours positive.
Remarque: La fonction d'intercorrélation
(273) a aussi une transformée de Fourier. Nous
l'utiliserons dans le paragraphe consacré au filtrage des signaux
aléatoires.
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