Figure 21:
Interprétation de l'échantillonnage dans le domaine temporel et dans le domaine des fréquences:
Le signal à temps continu occupe ici une bande de fréquence limitée; Dans le domaine temporel, l'opération d'échantillonage
est un produit par une fonction peigne; la transformée de Fourier de cette fonction peigne est une fonction peigne
dans le domaine des fréquences; l'opération d'échantillonnage qui est un produit dans le domaine temporel se traduit
par un produit de convolution dans le domaine des fréquences (la fréquence d'échantillonnage 
correspond à la fréquence 64)
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L'opération d'échantillonnage consiste à mesurer la valeur du
signal 
à un instant donné (par exemple pour 
), ce qui
peut se formaliser en utilisant la distribution de Dirac
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(63) |
De même, la mesure à l'instant 
s'écrira
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(64) |
On peut interpréter l'échantillonnage comme une séquence
d'impulsions de Dirac modulées en amplitude par le signal x(t)
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(65) |
ou encore sous la forme d'un produit que nous noterons
Remarque importante: Pour interpréter correctement
l'échantillonnage et la reconstruction du signal à temps continu à
partir des échantillons 
, il faut bien se représenter le
signal échantillonné comme cette suite d'impulsions modulées en
amplitude séparées par des périodes où le signal est nul, et non
sous la forme de créneaux d'amplitude constante entre les instants
d'échantillonnage, qui est le résultat de l'application d'un
bloqueur au signal échantillonné. Cette erreur d'interprétation
peut être la source d'une mauvaise compréhension, assez courante
chez certains spécialistes du traitement d'images.
La représentation (66) est un produit dans le domaine
temporel. Elle se traduit donc sous la forme d'une convolution
dans le domaine des fréquences. La distribution 
est un ``peigne'' d'impulsions de Dirac régulièrement espacées.
Elle admet une transformée de Fourier, 
qui est elle aussi un peigne
d'impulsions de dirac régulièrement espacées, l'écart entre les
harmoniques étant
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(67) |
(Le coefficient de normalisation 
qui peut être pris égal à 
pour garantir la conservation de la puissance dans le passage du
domaine temporel au domaine fréquenciel n'a pas de conséquences
dans l'interprétation fréquencielle de l'échantillonnage.)
La transformée d'un produit dans le domaine temporel est une convolution dans le domaine des fréquences. On a
donc
La convolution 
d'une fonction 
par une impulsion de
Dirac décalée en 
se traduit par une translation de
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(69) |
Pour obtenir 
, on effectue la somme du résultat des
convolutions de par les différentes impulsions
, on en déduit donc
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(70) |
La transformée de Fourier du signal échantillonné s'obtient par
addition de reproductions de la transformée de Fourier du signal
original identiques en forme mais décalées les unes des autres de
. C'est donc une fonction périodique de la fréquence de période
.
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