Un problème important dans de nombreuses applications est l'étude de
la répartition en fréquences d'un signal aléatoire: une réalisation
de ce signal 
a une transformée de Fourier 
qu'on ne peut
théoriquement pas calculer mais dont on peut trouver une estimation
. On cherche à calculer
, répartition moyenne
de l'énergie du signal en fonction de la fréquence.
Figure 59:
Exemple de densité spectrale
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Nous ne donnerons pas ici un développement rigoureux,
ce qui serait excessivement fastidieux pour un cours élémentaire
mais seulement
une forme sommaire de ce développement qui traduit bien ce qu'on
peut faire en pratique dans les applications.
Une estimation de la transformée de Fourier d'une réalisation du processus aléatoire
est
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(238) |
Nous supposerons qu'on peut commuter les sommations et les calculs
de moyenne,
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et que le signal est stationnaire, ce qui fait apparaître
la fonction d'autocorrélation 
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En posant
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(241) |
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(242) |
cette équation devient
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(243) |
Si on admet, en éludant les problèmes de convergence, qu'on peut calculer la transformée de Fourier de la
fonction d'autocorrélation, soit 
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(244) |
La valeur moyenne de la répartion de l'énergie en fonction de la
fréquence est donnée par la transformée de Fourier de la fonction
d'autocorrélation.
On a ainsi deux possibilités: soit on se donne une estimation
de la transformée de chaque réalisastion
et le carré de son module,
,
et on calcule une moyennes sur différentes réalisations pour estimer
la densité spectrale; soit on calcule la fonction d'autocorrélation
du signal (ce qui peut se faire sur une seule réalisation si le
signal est ergodique) et on en prend la transformée de Fourier.
On peut considérer qu'un signal aléatoire admet une décomposition en fréquence
sous la forme d'une somme infinie de sinusoïdes où pour chaque fréquence
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(245) |
est une variable aléatoire positive ou nulle telle que sa moyenne
est égale à la racine carrée de la densité spectrale 
et
est une variable aléatoire équirépartie dans 
.
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