Le traitement numérique des signaux se fait sur des valeurs
discrètes: il n'est pas possible de traiter par ordinateur des
signaux à temps continu. Par souci de simplicité, on échantillonne les signaux à un rythme
régulier.
Une horloge de cadence 
permet de conserver entre les instants 
et 
la valeur qu'avait le signal à l'instant (fig 19), ce qui
permet ensuite de calculer la valeur numérique binaire du signal par une
une succession d'opérations de comparaisons à des tensions de référence
de la forme 
et de soustractions.
Figure 19:
Illustration de l'échantillonnage d'un signal : on mesure la valeur du signal
à des instants qui sont des multiples de la période d'échantillonnage
 |
On conçoit bien que si le signal à analyser ne varie pas
trop rapidement, et que si la cadence d'échantillonnage est
suffisamment élevée, on pourra retrouver l'information du signal
original dans le signal échantillonné. Mais il est nécessaire de
traduire ceci de manière un peu plus formelle, ce qui nous
conduira à établir le théorème de Nyquist (ou de Shannon) donnant le lien entre la
bande de fréquence occupée par le signal et la cadence
d'échantillonnage. Une manière raisonnable de considérer ce
problème est de trouver les conditions pour lesquelles il est
possible de reconstituer le signal à temps continu à partir des
échantillons mémorisés. Ce développement se fait simplement en
utilisant une interprétation dans le domaine des fréquences. Nous
verrons donc dans quelles conditions, le signal échantillonné
permet de retrouver le signal initial et la manière de
reconstruire ce signal initial par interpolation entre les
échantillons.
Quelques remarques
La représentation graphique d'un signal échantillonné ressemble à
celle du signal continu lorsque le signal est dans le domaine des
basses fréquences. Toutefois, pour les fréquences élevées, le
signal échantillonné ne présente guère de similitude avec le
signal original (cf fig. illustrechan2).
Figure 20:
La version échantillonnée d'une sinusoïde dont la fréquence est proche de la moitié de la fréquence d'échantillonnage
ne ressemble pas au signal à temps continu initial
 |
Les précurseurs de l'invention de l'échantillonage et du
développement de la théorie correspondantes sont les inventeurs qui se sont intéressés
à l'analyse du mouvement au dix-neuvième siècle: les créateurs du
stroboscope (Plateau en Belgique et Von Stamper en Autriche en
1829); puis ceux du ``chronoscope'', un système de prises de vues
rapides permettant l'analyse du mouvement, (Muybridge aux USA et Marey
en France, vers 1870). Les premières
recontructions de séquences d'images animées sont fondées sur la
permanence rétinienne (une image se conserve environ 1/10ième de
seconde) découverte par Plateau et effectivement utilisée dans le
stroboscope puis le cinématographe (les frères Lumière en 1895).
De nombreux sites ``web'' présentent les résultats obtenus par ces
inventeurs. La formulation mathématique des bonnes conditions
d'échantillonnage a été proposée à H. Nyquist en 1928 puis reprise
par C. Shannon en 1948, spécialistes des
communications des Bell's labs.
Les résultats fondamentaux sur l'échantillonage sont bien illustrés par
l'effet stroboscopique de ralenti ou même de changement de sens de rotation lors
de la visualisation d'une roue filmée à 25 images par seconde.
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