Nous supposerons que le filtre étudié est causal.
Pour qu'un filtre soit stable, il faut que la somme des modules
des échantillons de sa réponse impulsionnelle soit finie
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(143) |
Le module de la transformée en 
, 
calculé pour 
vérifie
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Le module de 
doit donc être borné pour . ne
doit pas avoir de pôles à l'extérieur du cercle de rayon unité. Un
filtre récursif ne sera stable que si tous ses pôles sont à
l'intérieur du cercle de rayon un. Dans le cas des fonctions de
transfert causales et rationnelles de degré fini, si les pôles
sont tous à l'intérieur du cercle de rayon 1, une décomposition en
éléments simples et un calcul de transformée en inverse montre
que la réponse impulsionnelle est alors une somme d'exponentielles
décroissantes: le filtre est toujours stable.
Remarque. Exactement comme dans le cas des filtres à
réponse impulsionnelle finie, la position des zéros de la fonction
de transfert (les racines du polynôme numérateur) n'influence pas la stabilité du filtre.
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