Nous supposons que les variables sont centrées
L'outil de base pour caractériser les signaux aléatoires
est le moment du deuxième ordre d'un couple de variables aléatoires.
Le moment du deuxième ordre d'une variable aléatoire centrée est
sa variance (carré de l'écart-type)
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(218) |
On peut l'estimer à partir de 
réalisations
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(219) |
Cette variance caractérise la dispersion autour de la valeur moyenne
(ici autour de zéro).
Pour caractériser la relation entre deux variables aléatoires, on étudie
leur corrélation qui s'écrit en fonction de la densité de probabilité conjointe
du couple de variables aléatoires 
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(220) |
On en déduit le coefficient de corrélation
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(221) |
est compris entre 
et 
. Si 
on dit que les variables 
et 
sont orthogonales.
Si 
il y a dépendance linéaire entre et .
Si les variables aléatoires sont centrées et indépendantes, alors
se factorise
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(222) |
et 
.
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(223) |
Les estimations de 
,
et 
sont d'autant meilleures
que est grand; ces estimations sont elles-mêmes des variables
aléatoires
dont l'écart-type décroit lentement, (comme
)
quand
augmente.
Cette corrélation
joue un rôle fondamental en traitement du signal.
Les variables aléatoires gaussiennes centrées
Ces variables sont fondamentales pour deux types de raisons:
d'une part, leur étude théorique met en évidence des propriétés
très utiles en pratique, en particulier leurs moments du deuxième ordre suffit à les caractériser.
De plus, elles représentent bien
les signaux aléatoires qu'on peut mesurer dans le monde physique.
Leur densité de probabilité s'écrit
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(224) |
Dans le cas d'un couple de variables aléatoires conjointement gaussiennes
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(225) |
Les moments de ces variables sont
Si , s'écrit sous la forme d'un produit
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(227) |
Deux variables aléatoires gaussiennes dans leur ensemble et
orthogonales sont indépendantes.
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