La transformée en 
est un outil analogue à la transformée de
Laplace, utilisée dans l'analyse des signaux et des systèmes à
temps continu. On peut généraliser le lien établi par la formule (109). Soit la transformée de Laplace inverse,
permetttant de déduire 
de 
définie dans une bande parallèle à l'axe imaginaire dans le plan
complexe autour d'un axe d'abscisse 
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Aux instants d'échantillonnage
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Soit 
la transformée en du signal échantillonné
(pour simplifier nous supposerons que est nul pour les
temps négatifs
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Dans un domaine où la somme sur 
converge
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Pour calculer cette intégrale, on utilise le théorème des résidus.
Si est causale et d'énergie finie, elle a tous ses pôles à
partie réelle négative et vaut
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Ce qui donne la façon de calculer la transformée en d'un
signal échantillonné, connaissant la transformée de Laplace du
signal à temps continu à partir duquel il a été créé.
On peut remarquer que si est une fraction rationnelle,
est aussi une fraction rationnelle. Si 
est un pôle de
, alors
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est un pôle de .
En automatique ou en traitement du signal, un pôle complexe 
dans
le plan de Laplace correspond à une résonnance caractérisée par
son abscisse 
(
) qui en donne l'amortissement, et son
ordonnée 
qui en donne la fréquence. Dans la transformation
qui fait passer du plan de Laplace au plan ``'', la résonance
est conservée et ses caractéristiques sont transformées:
caractérise l'amortissement (amortissement faible
lorsque 
est très proche de un, amortissement
important lorsque
est proche de zéro. La fréquence
est maintenant caractérisée par un angle
,
représentation cohérente avec celle de la transformée de Fourier:
l'angle 
correspond à la fréquence et aux fréquences
multiples de la fréquence d'échantillonnage, l'angle 
au
quart de la fréquence d'échantillonnage, l'angle 
à la moitié
de la fréquence d'échantillonnage.
Si on suppose que tous les pôles de sont dans une bande de
fréquence
, il y a une relation bijective
entre les pôles de et ceux de . Cependant cette
relation n'est pas vérifiée dans le cas des zéros, qui peuvent
être modifiés. Il est possible d'établir la formule permettant de
calculer la transformée de Laplace d'un signal à temps continu à
partir de la transformée en . En supposant que les pôles de 
sont encore dans l'intervalle
, ces pôles se
déduisent de ceux de
par
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où la détermination de la partie imaginaire du logarithme est dans l'intervalle 
.
Figure 31:
Mise en correspondance du plan complexe dans le cas de la transformée en
et de la transformée de Laplace (``
''); la périodicité liée à la rotation dans le plan
se traduit par une répétition verticale de la bande horizontale
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