Modèles autorégressifs
Soit un signal 
, qu'on suppose être stationnaire et de
moyenne nulle.
On en calcule les coefficients de corrélation
pour
:
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(341) |
Dans le cas de l'analyse du signal de parole, cette hypothèse de
stationnarité
n'est pas vérifiée et on considère que est connu sur un
intervalle de temps 
et que est nul en
dehors de cet intervalle. On calcule alors 
de la manière
suivante
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(342) |
On cherche à trouver les coefficients d'un filtre non récursif de degré 
, 
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(343) |
où 
dont l'entrée est et la sortie
. On cherche à
minimiser la variance de
qu'on nommera
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(344) |
peut être interprétée comme l'erreur de
prédiction entre le signal et sa prédiction linéaire calculée à partir des
échantillons précédents
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(345) |
En developpant le carré
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(346) |
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(347) |
En dérivant cette forme quadratique par rapport aux paramètres
cherchés
, on obtient le minimum lorsque sont satisfaites les
équations suivantes, écrites sous une forme matricielle
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(348) |
Lorsque ces équations sont vérifiées, la formule (347) donnant la
valeur de la variance se simplifie : lorsque 
:
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(349) |
et
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(350) |
En combinant cette équation avec l'équation matricielle
(348), on obtient
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(351) |
Ces équations sont connues sous le nom d'équations de Yule Walker.
La matrice des coefficients d'autocorrélation,
qui y apparait a une
forme bien particulière : tous ses éléments situés sur des parallèles à la
diagonale principale sont identique, on dit que c'est une matrice
de Toeplitz. Elle est de plus symétrique.
Remarque : l'application d'une matrice de Toeplitz à un vecteur
s'interprète comme la convolution de la séquence associée à ce vecteur avec
la séquence permettant d'engendrer la matrice.
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