Un filtre est conçu à partir d'une réponse en fréquence idéale
avec des marges d'erreur autorisées (un gabarit, figure 43) :
Figure 43:
Exemple de gabarit d'un filtre passe-bande
 |
on ne peut pas réaliser un
filtre parfait, il faut s'en rapprocher le plus possible et se
donner le niveau des différences acceptables.
Une manière de procéder est de se donner le filtre idéal à réaliser dans
le domaine des fréquences 
, de revenir dans le domaine temporel en
calculant la transformée de Fourier inverse soit 
. Cette
fonction n'est en général pas causale et la réalisation
effective du filtre nécessitera un retard.
On remplace la fonction en général de durée infinie par une
fonction de durée finie 
en multipliant par une
fonction de pondération que nous prendrons constante dans un
premier temps:
Dans ce cas, la transformée de Fourier de 
étant
, on a
 |
(158) |
On voit ainsi en général des oscillations parasites (connues sous
le nom de phénomène de Gibbs) et dans le cas des filtres
passe-bande une largeur non nulle de la bande de transition
(domaine entre la bande passante et les bandes où le signal est
atténué)
On peut atténuer l'amplitude de ces oscillations en utilisant une
fenêtre de pondération, par exemple la fenêtre de Hamming (fig.
44).
Cette atténuation des oscillations parasites
se fait au détriment de la largeur de la bande de transition (qui
est doublée dans le cas présent). Il existe d'autres formes de
fenêtres de pondérations qui seront décrites dans le chapitre
consacré à l'analyse spectrale.
Figure 44:
Effet de la troncature de la réponse impulsionnelle
d'un filtre dans le domaine temporel et dans le domaine des fréquences
 |
Une forme intéressante de fenêtre est la fenêtre de Papoulis.
Son avantage par rapport à la fenêtre de Hamming est de réduire la
bande de transition; mais c'est au détriment des oscillations
parasites qui sont augmentées. Son utilisation peut être un
compromis entre l'application de la fenêtre rectangulaire
introduisant une coupure brutale de la réponse impulsionnelle aux
extrémités de la fenêtre et la fenêtre de Hamming qui peut
atténuer trop fortement le signal à ces extrémités. Les effets de
ces
différentes fenêtres sont données figure 45.
Figure 45:
Lobe principal et lobes latéraux des fenêtres rectangulaire,
de Papoulis et de Hamming
 |
Bien que cette fenêtre soit moins utilisée que la fenêtre de
Hamming, on peut préconiser son utilisation lorsqu'on souhaite
réduire la largeur de la bande de transition, car le lobe
principal de la transformée de Fourier de la fenêtre de Papoulis
est moins large que celui de la fenêtre de Hamming. Toutefois
l'amplitude de ses lobes latéraux est plus importante (un peu plus
de suroscillations au voisinage de la bande de transition,).
[ Table des matières ]
