La plupart du temps, l'utilisateur de méthodes de traitement
numérique du signal se contente de retrouver grâce à une table la
forme d'une transformée en 
inverse. Pour cela, on effectue les
opérations suivantes. Nous supposerons que 
s'écrit sous la
forme d'une fraction rationnelle, soit
 |
(92) |
où le degré de 
est inférieur au degré 
de 
. Nous supposerons que les racines 
du dénominateur
sont distinctes
 |
(93) |
 |
(94) |
On peut alors écrire sous la forme
 |
(95) |
où le ``résidu'' 
du pôle peut se calculer de différentes manières:
 |
(96) |
Le cas où les racines sont multiples est un peu plus compliqué.
Nous invitons le lecteur à se référer à un ouvrage de
mathématiques sur les fonctions de la variable complexe.
On néglige souvent de se préoccuper du domaine de convergence de
la transformée en , car en traitement numérique du signal, on
considère souvent implicitement que le domaine de convergence est
une couronne contenant le cercle de rayon un. On peut toutefois
montrer sur un exemple l'importance de ce domaine de convergence.
Soit la fonction
 |
(97) |
Si elle est définie à l'extérieur du cercle de rayon 
(on
suppose que 
, la fonction qui a pour transformée en
est
Au contraire, si le domaine de convergence est le disque intérieur
au cercle de rayon , le développement (98) n'est
plus autorisé, car 
et le développement correct est
celui de
 |
(99) |
nul pour les temps strictement positifs et vaut
Une transformée en peut s'écrire aussi bien en fonction de la
variable que de la variable 
. La fonction dans le domaine temporel calculée
par transformée inverse dépend de la couronne où la transformée
est définie. Toutefois, par souci de clarté, il vaut mieux adopter
l'usage courant et ne pas hésiter dans le cas où on traite de
fonctions non causales à bien le préciser dans le texte.
[ Table des matières ]
