Cette intéressante interprétation est donnée par Markel et Gray,
`` linear prediction of speech'', édité par Springer et Verlag en 1976
:
On considère l'intégrale suivante qui permet de calculer une
distance entre la densité spectrale du signal étudié
et la densité spectrale du signal obtenu en filtrant
par le filtre récursif 
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(373) |
On vérifie que c'est bien l'intégrale d'une fonction positive du
type 
étudiée au voisinage de 
. On cherche parmi tous les couples
(vérifiant toujours 
), celui qui minimise 
lorsque
est donné.
L'intégrale 
du premier terme de la somme est proportionnelle à la variance 
du signal obtenu en filtrant 
par le
filtre de réponse impulsionnelle finie 
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(374) |
et
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(375) |
On peut simplifier le deuxième terme (soit 
) en remarquant que
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(376) |
lorsque 
a toutes ses racines à l'intérieur du cercle
de rayon 
.
En effet, dans ce cas, la fonction
est une fonction holomorphe
dans le disque de rayon car 
, son intégrale le long du cercle de
rayon est donc nulle.
On en déduit que l'intégrale du second terme ne dépend pas de
(à condition que le filtre soit stable). s'écrit
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(377) |
et l'intégrale de la somme des trois termes
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(378) |
n'apparait que dans le premier terme. Lorsqu'on fait
varier pour une valeur donnée de 
, atteint son minimum lorsque
est elle-même mimimale, c'est-à-dire lorsque le filtre
vérifie les équations de Yule-Walker et minimise la variance du
signal résiduel
: c'est le filtre 
trouvé par
la méthode du paragraphe précédent. Une fois déterminé le filtre optimal,,
il reste à trouver la valeur optimale de 
.
étant connu, le minimum de est obtenu lorsque sa dérivée par rapport à 
s'annule, soit lorsque
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(379) |
Le couple
minimise donc le critère . La
valeur du minimum est donnée en reportant l'eq.(379) dans l'eq.(378)
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(380) |
Il est utile d'analyser d'un peu plus près ce critère pour se
faire une idée de la contribution des différents écarts de la forme
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(381) |
dans
l'intégrale . La contribution de
dans est:
 |
(382) |
Figure 71:
Importance de la contribution des écarts dans le modèle
d'un spectre obtenu par prédiction linéaire : les composantes qui sont plus
grandes que celles du modèle ont un poids plus élevé que les composantes
qui sont plus petites que celles du modèle, si bien qu'elles sont mieux modélisées;
le spectre du modèle de prédiction linéaire apparait comme un lissage des composantes
spectrales d'amplitude élevée
 |
Si
est négatif, le terme prépondérant sera
, alors
que si
est positif, le terme prépondérant sera
. Par conséquent, une valeur positive de
aura un poids
plus important qu'une valeur négative de même
amplitude dont la contribution sera
. Le
modèle fondé sur prédiction linéaire et la minimisation de la
variance du signal résiduel donnera surtout une fonction qui
représentera bien les maxima du spectre, mais modélisera moins bien les
minima. Ce modèle sera bien adapté à l'analyse du signal vocal où
il est important de représenter les résonances du filtre plus que
les zéros de transmission.
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