Un signal 
périodique de période 
peut se décomposer sous
la forme d'une somme de signaux sinusoïdaux, les harmoniques dont
la fréquence est un multiple de la fréquence fondamentale
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(12) |
Remarque: Comme dans la plupart des ouvrages anglosaxons, nous ne ferons pas la différence entre ``pulsation'' et
fréquence, qui représentent des données identiques avec des unités
différentes: les radians par seconde dans le premier cas ou le nombre de
périodes ou de tours par seconde dans le second cas.)
On aura ainsi
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(13) |
Il n'y pas d'autres composantes, en considérant que la
composante continue (pour 
) fait partie des harmoniques.
L'amplitude complexe de chaque harmonique 
se
calcule de la manière suivante
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(14) |
Figure 11:
Représentation graphique d'un signal de parole, faisant apparaître une quasi-périodicité
dans les périodes successives du signal; la durée 
correspond à 
ms
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Figure 12:
Grossissement d'une portion du signal précédent, une période de longueur 
correspond à une
durée de 
ms soit à une fréquence de Hz
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Figure 13:
Amplitude des harmoniques calculées sur une période du signal de parole (les fréquences des harmoniques
sont des multiples de la fréquence fondamentale qui est ici de 125 Hz.Chacune de ces harmoniques a une
amplitude, mais aussi une phase dont la représentation n'est pas
donnée parce qu'elle n'est pas très explicite
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Figure 14:
Reconstruction du signal utilisant toutes les 32 harmoniques visibles dans ce signal, la reconstruction
du signal original est parfaite sur la première période. Les autres périodes reconstituées sont identiques à la première et donc légèrement
différentes des périodes correspondantes du signal initial
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Figure 15:
Reconstruction du signal n'utilisant que les 16 harmoniques de plus basse fréquences, les fluctuations rapides
du signal ont disparu
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En admettant que l'écriture sous la forme (13) est valable,
le calcul (14) donne
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(15) |
Si la commutation de la sommation et de l'intégration est possible
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(16) |
Comme
on a bien, pour tout 
:
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(18) |
A l'inverse, la démonstration permettant de justifier l'écriture
(13) n'est pas si directe: il faut montrer que le
signal reconstitué 
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(19) |
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(20) |
est bien égal au signal initial , et donc que pour
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(21) |
où 
est une impulsion de Dirac. Une démonstation correcte fait appel à
la théorie des distribution. Nous admettrons la validité de ce
résultat.
Remarque: Nous avon systématiquement utilisé la représentation complexe qui
est plus facile à manipuler que la représentation en sinus et
cosinus. Ceci fait intervenir la notion de fréquences négatives
qu'on peut interpréter de la manière suivante. La fréquence est
associée à la vitesse de rotation d'un point se déplaçant
uniformément sur le cercle de rayon unité. Une rotation dans le
sens positif correspond à une fréquence positive, une rotation
dans le sens négatif correspond à une fréquence négative.
Un mouvement sinusoïdal réel sera la combinaison de deux
mouvements en sens inverse.
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