On considère un ensemble de 
événements possibles, par exemple les six
résultats possibles d'un lancer de dé. On assigne un numéro à
chacun de ces événements. On associe à chacun de ces
événements élémentaires un nombre positif ou nul 
appelé probabilité qui est la
proportion entre le nombre de fois où ce résultat apparait et le
nombre total d'expériences. La somme des sur l'ensemble des
expériences vérifie :
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(1) |
Ceci traduit le fait que le résultat de l'expérience fera toujours
partie des événements possibles.
Les événements sont mutuellement exclusifs ou disjoints : ils ne peuvent se
réaliser simultanément. On ne peut obtenir à la fois un et trois
lorqu'on lance un dé. Ou bien, si dans le couple 
, 
représente le résultat
d'un tirage à pile ou face (
ou 
) et 
le résultat d'un
lancer de dé, les événements 
et 
sont
disjoints. Si deux événements sont disjoints, la
probabilité que l'un ou l'autre se réalise est
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(2) |
Les résultats et de deux expériences sont indépendants si
la probabilité de les obtenir simultanément est
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(3) |
Si par exemple, un lancer de dé et un tirage à pile ou face sont indépendants,
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(4) |
La décomposition d'un événement en événements disjoints permet
d'écrire le théorème des probabilités totales
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(5) |
La mise en évidence de la dépendance au sens des probabilés est
fondamentale dans les application: dans de nombreux problèmes, lorsqu'on tente de faire des prédictions, il est
essentiel de pouvoir dire si le résutat d'une expérience 
peut
dépendre d'un autre phénomène 
. Dans l'affirmative, il faut pouvoir
préciser l'effet de sur .
Cette notion de dépendance nécessite la définition des
probabilité conditionnelles: la probabilité que se réalise
sanchant que s'est réalisé est
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(6) |
Cette notion de probabilité conditionnelle est la base de la
prédiction au sens statistique du résultat d'une expérience. On
peut par exemple donner la probabilité qu'une des ``causes''
parmi causes possibles d'un événement soit celle qui a
effectivement produit l'effet mesuré:
On suppose que les causes possibles 
sont
mutuellement exclusives et qu'on les connait toutes (il n'y a pas
d'autres causes possibles). On connait la probabilité de chacune
d'entre elles, , qui vérifie
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(7) |
car on connait toutes les causes.
On connait aussi les probabilités conditionnelles 
. La
probabilité que se réalise est
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(8) |
En utilisant les deux écritures possibles de la formule donnant les probabilités conditionnelles,
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(9) |
on obtient d'une part,
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(10) |
et en éliminant 
dans l'eq. :
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(11) |
Ce résultat est connu sous le nom de formule de Bayes.
Une notion couramment utilisée quand on étudie les probabilités conditionnelles est la
maximisation de fonction de vraisemblance: on recherche le
maximum sur tous les 
de .
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