Les systèmes linéaires sont un outil important en automatique.
Dans ce cas on considère souvent des systèmes où l'entrée est un
vecteur fonction du temps et non un scalaire. Soit 
cette
entrée. Elle agit sur les sorties du système par une action
intermédiaire sur l'état de ce système. On peut dire que les
composantes du vecteur d'état d'un système représentent les
informations qu'il faut connaître sur le passé de ce système pour pouvoir
calculer l'évolution future du système en fonction des commandes
qui lui seront appliquées.
On a ainsi les équations
Représentation d'état d'un filtre numérique
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Un filtre récursif peut se représenter en utilisant ce formalisme:
est alors un scalaire, 
un vecteur à 
composantes,
est un scalaire
est une matrice de dimension et s'écrit alors en fonction des coefficients du polynôme 
et les autres matrices sont
Un système linéaire représenté sous forme d'état et invariant dans
le temps est stable si les valeurs propres de la matrice de
transition ont toutes un module inférieur à un. Un calcul du
déterminant de 
montre que
ces valeurs propres sont égales aux racines du polynôme 
. C'est la même condition de stabilité que celle donnée dans
le cas des filtres récursifs.
Un problème spécifique des filtres récursifs est liée au fait que
les calculs sont effectués en précision finie et que le système
est bouclé: il peut apparaître des phénomènes oscillants dûs à ce
bouclage et à la quantification.
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