L'ANALYSE TEMPORELLE

Le but de cette leçon est de présenter les notions de régimes transitoire, permanent, forcé et libre, ainsi que d'introduire au calcul opérationnel.

On présente d'abord la distinction classique entre régime transitoire et régime établi. Pour un système stable, le régime commence par être transitoire pendant un temps dépendant de ses caractéristiques, puis passe dans un régime établi.
Comme l'analyse harmonique se fait toujours en régime établi, on utilise l'analyse temporelle avec des signaux non-sinusoïdaux pour étudier les régimes transitoires.
On distingue ensuite le régime libre - correspondant à l'évolution du système sans excitation, laissé à ses conditions initiales -, du régime forcé, comme réponse spécifique du système à son excitation.
On introduit enfin la transformation de Laplace, qui est un outil souvent utilisé pour étudier les régimes transitoires, car il permet de résoudre facilement les équations différentielles linéaires à coefficients constants.

Table des matières

1.1. Définition
1.2. Exemple : Circuit RC

1.1. Définition

Dans la leçon précédente, nous avons traité du régime sinusoïdal dit permanent : on suppose qu'il s'est écoulé suffisamment de temps depuis l'enclenchement du système, pour que tous les signaux aient pris un rythme de croisière, c'est-à-dire se retrouvent en régime permanent. L'analyse temporelle est une méthode complémentaire à l'analyse harmonique, dans la mesure où elle permet d'étudier le régime transitoire d'un système.

Par exemple, on applique ce qu'on appelle un échelon unité : une brusque variation de signal d'entrée :

Du point de vue mathématique, on comprend qu'à la résolution d'une équation différentielle linéaire, on va obtenir certains termes qui seront amortis par des exponentielles négatives, et d'autres pas. Ainsi, le régime transitoire est donné par les termes de la solution qui sont amortis exponentiellement. Les autres termes définissent ce qu'on appelle le régime permanent.

1.2. Exemple : Circuit RC

Soit la cellule RC passe-bas :

L'application des lois de Kirchhoff et des relations constitutives des éléments R et C nous procure l'équation différentielle suivante :

La solution générale de l'équation homogène est :

La solution particulière est :

La solution générale est :

Représentation graphique de la réponse indicielle :

2.1. Définition
2.2. Exemple du circuit RC
2.3. Remarques sur les différents régimes

2.1. Définition

Parallèlement à la distinction régime transitoire et permanent, il s'en impose à l'ingénieur une seconde : le régime libre correspond à l'évolution du système laissé à lui-même, sans intervention extérieure. Du point de vue mathématique, cela revient à laisser agir les seules conditions initiales, sans membre de droite dans l'équation différentielle ; la réponse libre du système est la solution à l'équation homogène, avec conditions initiales :

Le régime forcé correspond à la réponse du système lorsque ses conditions initiales sont nulles et qu'il n'y a donc que l'excitation qui agit sur le système.

2.2. Exemple du circuit RC

Dans l'exemple précédent du circuit RC passe-bas, si on a une charge initiale stockée dans la capacité, on obtient :

Ici le régime libre n'est pas nul, comme auparavant. La réponse transitoire s'en trouve modifiée, alors que le régime permanent est le même, vu qu'il dépend de l'excitation et que cette dernière est encore un échelon unité.

2.3. Remarques sur les différents régimes

Le régime libre d'un système linéaire est transitoire si le système est passif, car il y a toujours amortissement par pertes d'énergie non compensées.

La réciproque est fausse : le régime transitoire ne découle pas seulement du régime libre, car l'excitation du système, qui est déterminante du régime permanent, produit aussi un régime transitoire.

Par exemple, prenons un système du premier ordre, avec condition initiale non nulle et excitation en rampe :

3.1. Transformation de Laplace
3.2. Langage
3.3. Quelques propriétés
3.4. Fonction de transfert complexe
3.5. Exemple : Circuit RC passe-bas
3.6. Transformées de Laplace de quelques signaux
3.7. Tables de quelques transformées

Nous présentons ici quelques rudiments concernant la transformée de Laplace, outil très pratique pour résoudre les équations différentielles linéaires à coefficients constants. Ce point trouve donc sa place dans ce chapitre consacré à l'analyse temporelle de systèmes linéaires. De plus, on utilise couramment en électronique la transformée de Fourier, qui est mathématiquement un cas particulier de celle de Laplace. Cette dernière, est introduite à la leçon suivante.

3.1. Transformation de Laplace

On considère f(t) une fonction dite causale, c'est à dire que f(t)=0 pour t<0. On applique un opérateur dit de Laplace sur cette fonction f :

La fonction est la transformée de Laplace de la fonction .

L'utilité de cette transformation apparaît immédiatement avec l'exposé de ses principales propriétés.

3.2. Langage

F est appelée image de f on écrit :

f est appelée original de F on écrit :

3.3. Quelques propriétés

La vérification de ces propriétés ne pose aucun problème, à partir de la définition même de la transformation de Laplace.

Linéarité:
Transformée d'une dérivée : avec f(0)=0 :
Transformée d'une intégrale, (avec f(0)=0) :
Théorème de la valeur initiale :
Théorème de la valeur finale :

Ces propriétés, particulièrement les trois premières expriment ceci de remarquable qu'une équation différentielle linéaire (à coefficients constants) se transforme, dans l'espace de Laplace, en équation algébrique. C'est pourquoi cette transformée de Laplace est un outil important pour les ingénieurs.

3.4. Fonction de transfert complexe

Nous avons déjà vu, en analyse harmonique, que le système peut être représenté par un nombre complexe, dont la phase représente le déphasage induit par le circuit, et le module le rapport des amplitudes d'entrée et de sortie. La variable, en analyse harmonique, est le nombre imaginaire.

Avec la transformée de Laplace, on pose comme variable complexe, généralisant celle du régime harmonique (L'introduction de la composante réelle permet l'approche des régimes transitoires). On obtient, pour les impédances résistives, capacitives et inductives :

Ces relations pour les impédances expriment que la résistance a une caractéristique statique, que la capacité "intègre" le courant, que l'inductance "dérive" le courant.

En traitant un circuit à l'aide de cet outil, les signaux d'entrée et de sortie se transforment en fonctions complexes et le rapport de ces deux fonctions est encore complexe dans le cas général : c'est la fonction de transfert du circuit.

3.5. Exemple : Circuit RC passe-bas

Soit le circuit RC suivant :

Ses équations temporelles sont données par :

Après transformation de Laplace, on obtient :

Soit pour la fonction de transfert complexe :

Nous avons exprimé la fonction de transfert en régime harmonique de la sorte :

Sur cet exemple, nous voyons bien que l'utilisation des nombres complexes en régime harmonique représente bel et bien un cas particulier de l'utilisation de la transformée de Laplace, où la variable p est réduite à son terme imaginaire :

.

3.6. Transformées de Laplace de quelques signaux

3.7. Tables de quelques transformées