On peut diviser l'analyse de systèmes linéaires en deux grandes classes: l'analyse temporelle où l'on observe le comportement du système en fonction du temps, et l'analyse fréquentielle où la variable de contrôle est la fréquence. Le but de cette leçon est d'introduire à cette dernière approche.
 

Pour les systèmes linéaires, l'analyse fréquentielle permet de connaître la réponse du système à une excitation sinusoïdale, à différentes fréquences. Dans cette leçon, on montre la présentation courante de ces résultats : les diagrammes de Bode. Ces diagrammes peuvent être réalisés expérimentalement ou à partir d'un calcul théorique. On étudie ainsi deux circuits très répandus : les filtres RC passe-haut et passe-bas qui sont les filtres électroniques les plus rudimentaires.
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Table des matières  

1.1. Définition de l'analyse harmonique expérimentale
1.2. Diagrammes de Bode
1.3. Ordre du système et pente du gain
1.4. Exemple de diagramme de Bode

1.1. Définition : analyse harmonique expérimentale

A titre didactique ou réellement expérimental, on peut effectuer une analyse harmonique partielle d'un système. Le principe est le suivant :

- On impose en entrée du système à étudier une tension sinusoïdale, à une fréquence fixée.
- On attend un certain temps que le régime soit stabilisé. On appelle cela le régime sinusoïdal établi. (Pour plus de détails à ce sujet, voir la leçon suivante).
 

- On relève le gain en amplitude et le déphasage du système.

- On recommence l'opération pour une large plage de fréquences (ou de pulsation).

Le résultat de ce type de mesure est un ensemble de deux graphes : gain-pulsation et déphasage-pulsation. On parle de diagramme de Bode lorsqu'on en fait une représentation en échelle logarithmique pour les pulsations.

1.2. Diagrammes de Bode

La représentation courante en électronique est donnée sous forme de diagrammes de Bode, où l'on montre l'évolution du gain en décibels et du déphasage en fonction de la pulsation de travail, placée elle aussi en échelle logarithmique.

Exemple de diagramme de Bode en amplitude :

Exemple de diagramme de Bode en phase :

1.3. Ordre du système et pente du gain

On peut reconnaître l'ordre du système à la pente du gain : un système du premier ordre se comporte asymptotiquement avec un affaiblissement de 6 décibels par octave, ou 20 décibels par décade. En général, n fois 6 dB pour un système du nième ordre.

Rappelons qu'une octave correspond à un doublement de fréquence, une décade à une multiplication par dix.

L'expression des pulsations en échelles logarithmiques permet donc de faire apparaître cette propriété qui par ailleurs sert à schématiser des diagrammes de Bode :

Par exemple, si on considère le diagramme asymptotique suivant :

on peut conclure que le système est du second ordre, avec deux pôles simples :

1.4. Exemple de diagramme de Bode

Une analyse harmonique expérimentale permet d'obtenir ce type de diagrammes de Bode : (se référer aux travaux pratiques de laboratoire)

2.1. Exemple typique : le circuit RC passe-bas
2.2. Exemple typique : circuit RC passe-haut

Nous avons déjà vu qu'en régime sinusoïdal, on peut représenter les signaux par des vecteurs ou des nombres complexes. Comme l'analyse harmonique d'un système linéaire se fait en régime sinusoïdal établi (voir cours suivant), l'utilisation de nombres complexes (pour l'entrée, la sortie et le gain) est adéquate.

Dans cette approche, le module du gain complexe représente le gain en amplitude et sa phase, le déphasage introduit par le système :

2.1. Exemple typique : le circuit RC passe-bas

Soit le circuit RC suivant, dit "passe-bas" :

Le gain complexe de ce circuit est donné par :

On obtient, pour les diagrammes de Bode :

Le gain en amplitude est déduit du module :

Le déphasage est déduit de l'argument :

2.2. Exemple typique : circuit RC passe-haut

Soit le circuit RC suivant, dit "passe-haut" :

Son gain complexe est donné par :

On obtient, pour ses diagrammes de Bode :

Son gain, déduit du module :

Son déphasage, déduit de l'argument :

3.1. Analyse fréquentielle par Fourier
3.2. Simulation et analogie mécanique
3.3. Remarque : les filtres électroniques

 3.1. Analyse fréquentielle par Fourier

De ce qui précède, on note simplement qu'il est possible de caractériser un système linéaire en régime sinusoïdal par un nombre complexe dépendant de la fréquence : le gain complexe. Ce que nous aborderons dans la leçon consacrée à l'analyse de Fourier, c'est qu'il existe une transformation linéaire, la transformation de Fourier, permettant de caractériser le système linéaire dans des espaces fréquentiels, quel que soit son régime de travail, sinusoïdal ou non. Cette caractérisation est donc aussi valable en particulier pour le régime harmonique. Cette transformation de Fourier permet d'aborder la question du traitement de signal en électronique.

3.2. Simulation et analogie mécanique

Comme nous savons qu'un circuit électronique RLC par exemple peut représenter un système mécanique, il est aisé de voir qu'il est possible (et cela se faisait il y a quelques années encore) de faire des simulations électroniques de gros systèmes mécaniques comme des turbines, systèmes automatiques, procédés chimiques etc. ... De nos jours, l'ordinateur permet d'effectuer ces opérations numériquement, avec une particulière efficacité pour les systèmes linéaires. Parallèlement, les systèmes électroniques se sont alourdis, et on recourt aussi à des logiciels de conception et simulation pour l'électronique. Dans ces logiciels, il est clair que l'analyse harmonique est une fonction de base. Deux mini-projets sont prévus sur un outil de ce type, un à la fin de chaque semestre (voir le programme du semestre, distribué en classe).

3.3. Remarque : les filtres électroniques

Nous avons déjà évoqué le problème du filtrage. Sous une forme ou sous une autre, ces questions se retrouvent dans toutes les disciplines de l'ingénierie, que ce soit à titre de sous-système à réaliser (par exemple un filtre passe-bande pour les systèmes audio), de systèmes à maîtriser (les questions de vibrations en mécanique par exemple, ou d'immunité au bruit de circuits électroniques) ou de sous-systèmes "parasites" qu'on cherche à connaître (par exemple, la cellule RC modélisant une courte ligne de transmission). En électricité, le filtrage peut être analogique ou informatique.

Remarque

Le circuit RLC était utilisé dans les récepteurs radio comme un filtre passe-bande, avec sélection de la fréquence par ajustement de la valeur de la capacité (tuning).

On a les diagrammes de Bode (échelle linéaire) correspondant :