INTRODUCTION

Le but de cette leçon est de rappeler ou d'introduire quelques notions et notations électrotechniques: la résistance, les relations de Kirchhoff, les sources de tension et de courant, les théorèmes de Norton, de Thévenin et de superposition. Ces notions d'électrotechnique sont incontournables en électronique.

Il est d'abord signifié les trois notions de "résistance": la résistance comme phénomène physique, comme concept électrotechnique et comme composant physique.

Ces rappels permettent au lecteur de se familiariser avec les relations de Kirchhoff. Ces relations peuvent être dérivées des équations de l'électromagnétisme: les équations de continuité et d'induction. On voit ainsi que la tension, ou différence de potentiel, est une notion électrostatique, fait dont on doit tenir compte si on veut discuter des limites du modèle de Kirchhoff. Celui-ci, dont on rappelle aussi le formalisme, présente l'avantage de ne travailler qu'en temps, courant et tension, les autres grandeurs étant soit négligées, soit introduites sous forme d'éléments avec leurs caractéristiques courant-tension.

On présente les concepts et les représentations de sources de courant et de tension : sources idéales sans impédance de sortie, source affine modélisant une chute de la tension linéaire en la valeur du courant de sortie. Ces modèles affines pour les sources sont extrêmement répandus et correspondent à ce qu'on appelle les représentations de Thévenin et de Norton des dipôles actifs. Un outil abondamment utilisé dans les quadripôles est le concept de source commandée, c'est-à-dire une source de tension dont le niveau de tension par exemple dépend d'une autre grandeur dans le système, un courant par exemple.

Une rapide discussion sur les systèmes linéaires est présentée, systèmes qui recouvrent un grand champ d'applications en technique. La distinction entre système linéaire et système non linéaire est importante dans la plupart des champs de l'ingénierie. On y trouve soit des systèmes linéaires (ou linéarisés) que l'on peut traiter avec les outils courants, soit des systèmes non linéaires pouvant - sous certaines conditions - relever des sciences du chaos ou de l'information. C'est le cas linéaire qui nous intéresse dans cette introduction à l'électronique; on utilise des dispositifs dans des limites linéaires, ou bien on linéarise leurs caractéristiques. On obtient trois propriétés fondamentales en électrotechnique linéaire : le principe de superposition qui est une propriété physique directement liée à la linéarité du système, les théorèmes de Thévenin et de Norton qui permettent de trouver des dipôles simplifiés équivalents à des dipôles linéaires.

Table des matières

1.1. Effet résistif et loi d'ohm
1.2. La résistance comme phénomène physique
1.3. La résistance comme concept électrotechnique
1.4. La résistance comme composant physique
1.5. Résistance d'une tige conductrice
1.6. Association de résistances

Dans cette leçon, la notion de résistance nous est utile à exercer les relations de Kirchhoff et les théorèmes linéaires, sans toutefois introduire immédiatement la notion d'impédance.

1.1. Effet résistif et loi d'ohm

Soit un conducteur électrique, dont on symbolise par une résistance son comportement électrique

ainsi qu'une source de tension, générant une différence de potentiel électrique à ses bornes.

Lorsqu'on branche ce conducteur aux bornes de la source, il résulte un courant électrique, dont l'intensité dépend de la résistance du conducteur à son passage.

La loi d'Ohm exprime que certains matériaux ont un comportement électrique linéaire :

Sous l'appellation "résistance", il faut distinguer trois définitions:

1.2. La résistance comme phénomène physique

Le phénomène physique correspond à la résistance qu'offre l'élément au passage du courant. C'est une expression de la dissipation thermique (effet Joule);
du point de vue du circuit, la résistance ne stocke pas d'énergie, mais la dissipe sous forme de pertes thermiques.

1.3. La résistance comme concept électrotechnique

Le concept de résistance est défini comme le rapport de la tension sur le courant :

1.3.1. Résistance statique :

1.3.2. Résistance dynamique :

La résistance dynamique est définie comme le rapport des accroissements de courant sur ceux de tension, à un point de fonctionnement donné.

Par exemple, dans le cas de la caractéristique courant-tension d'un dipôle non linéaire comme la diode, on définit sa résistance dynamique ainsi :

1.3.3. Symbole associé :

1.4. La résistance comme composant physique 

Le composant normalisé : Il s'agit ici de l'élément le plus simple, très utilisé en électronique. Aspect physique :

1.5. Résistance d'une tige conductrice :

Soit une tige de section S et de longueur l :

La résistance de cet élément est donnée par :

1.6. Association de résistances :

Les règles d'association découlent directement des relation de Kirchhoff, et sont présentées plus loin.

2.1. Dipôles, quadripôles et graphes
2.2. Les relations de Kirchhoff
2.3. loi des mailles : justification physique
2.5. Loi des neuds : justification physique
2.6. Limites et discussion du modèle de Kirchhoff

2.1. Dipôles, quadripôles et graphes

Pour une définition complète de ces objets conceptuels, on consultera avec profit l'ouvrage : "Théorie des réseaux de Kirchhoff" [7]. Le premier chapitre concerne la définition des réseaux de Kirchhoff.

2.1.1. Dipôle

Élément conceptuel caractérisé par sa relation courant-tension.

Exemples de dipôles :

Dans la deuxième leçon, il est traité des caractéristiques courant-tension de trois éléments incontournables en électricité et en technique : la résistance, l'inductance et la capacité.

Ces caractéristiques peuvent être statiques comme dans le cas d'une résistance pure, dynamiques dans le cas d'une inductance pure, où la tension à ses bornes dépend du taux de variation du courant le traversant. La caractéristique peut encore être linéaire, comme souvent pour la résistance, ou non-linéaire comme dans le cas typique de la diode.

 2.1.2. Quadripôle

Élément conceptuel caractérisé par les relations liant les courants et les tensions de son entrée et de sa sortie.

Nous verrons au second semestre qu'on peut utiliser une notation matricielle pour rendre compte de ces relations, dans un cas linéaire :

2.1.3. Réseau (de Kirchhoff)

Le réseau de Kirchhoff modélise un ensemble de dipôles et de quadripôles liés entre eux par des connexions considérées parfaites.

Noeud d'un réseau : Jonction de plusieurs connexions.
Branche d'un réseau : Connexion située entre deux noeuds.
Maille d'un réseau : Ensemble de branches constituant un chemin fermé.
Graphe d'un réseau : Ensemble des mailles et branches.

2.2. Les relations de Kirchhoff

2.2.1. Énoncé

Dans le formalisme présenté précédemment, les relations de Kirchhoff s'écrivent :

Loi des noeuds : à n'importe quel noeud du réseau, la somme des courant s'annule en tous temps.

Loi des mailles : dans n'importe quelle maille du réseau, la somme des tensions s'annule en tous temps.

Mettre en équations un système électrique donné revient donc à trouver un système de n équations indépendantes à n inconnues.

2.2.2. Exemple

 On obtient le système d'équations suivant :

2.3. Loi des mailles : justification physique

2.3.1. Loi d'induction

La loi d'induction sous forme intégrale s'écrit : 

 C'est à dire que la circulation du champ le long d'un contour fermé est donnée par la variation temporelle du flux du champ d'induction magnétique traversant la surface sous-tendue par le contour.

En considérant que les variations du flux total sont suffisamment faibles, c'est à dire :

on pratique l'approximation dite quasi-statique. Nous reviendrons sur ce point, qui peut être soumis à discussion.

2.3.2. Potentiel électrostatique

En poursuivant cette approximation statique, on se retrouve, dans notre système physique, en présence d'un champ électrique statique, donc découlant d'un potentiel par l'opérateur gradient :

soit, en travaillant entre deux points de l'espace :

La différence de potentiel est donc une notion relevant de l'électrostatique. Elle est appelée tension, et se mesure en Volts (V).

2.3.3. Circuit à constantes localisées ou réparties

Le modèle du circuit est dit à constantes localisées s'il peut s'écrire sous la forme d'une association discrète d'éléments. Une ligne par exemple sera modélisée par une résistance représentant les pertes joules de l'ensemble de la ligne.

Le circuit est dit à constantes réparties si on l'écrit sous la forme d'une association infinie d'éléments infinitésimaux. Ce modèle peut être utile dans le cas où les effets physiques ne peuvent pas trouver d'équivalent local. Par exemple :

- Circuit physique réel : Deux fils de cuivre servent à conduire un signal électrique. La résistance et la capacité sont physiquement réparties sur la longueur du conducteur.
- Modèle à constantes localisées : On considère une résistance et une capacité globale de la ligne. Par conséquent, les chutes de tension sont également localisées dans ce modèle.
- Modèle à constantes réparties : On considère dans ce modèle plus fin une succession de résistances et capacités infinitésimales (r'dz et c'dz), le long de la coordonnée z. Ce modèle sert de base à l'approche des lignes de transmissions.

2.3.4. Résumé : la loi des mailles

Revenant au modèle de Kirchhoff, on obtient la loi des mailles, où les tensions sont localisées dans éléments localisés :

2.5. Loi des noeuds : justification physique

2.5.1. Conservation de la charge

On admet en physique classique, (et en physique moderne cette constatation n'est pas réfutée), qu'il y a toujours conservation de la charge ; dans un circuit électrique, les charges se stockent, se déplacent mais ne se volatilisent pas. Cette situation est bien commode pour les ingénieurs du 20ème siècle !

 L'équation de continuité exprime cette conservation :

La charge totale intérieure à la surface ne peut être modifiée qu'au prix d'un flux de densité de courant (soit un courant) à travers cette surface fermée.

2.5.2. Approximation quasi statique 

On considère de faibles variations des courants, ce qui implique une variation de charge intérieure très faible :

d'où l'on obtient, pour le flux total :

2.5.3. Résumé : la loi des noeuds

Revenant au modèle de Kirchhoff, on obtient la loi des noeuds comme le cas particulier de l'équation précédente, où les courants sont localisés dans les fils conducteurs :

2.6. Limites et discussion du modèle de Kirchhoff

Il s'agit ici d'une petite discussion des limites du modèle de Kirchhoff.

2.6.1. Causalité

Lorsque l'on passe du modèle de Maxwell, avec les variables :

 à son sous-produit de Kirchhoff :

la relation causale existant entre le champ électrique et la force subie par la charge prend la forme de même type de relation entre tension sur un élément et courant résultant dans cet élément. Cela devient même une manière de penser les circuits : on place une tension u(t) aux bornes d'un élément et il est causé un courant i(t). C'est la caractéristique courant-tension d'un élément qui correspond à cette situation.

Cette propriété de causalité permet à l'électricité de fournir un instrument essentiel dans les systèmes de mesure :

2.6.2. Espace
On voit également que dans le modèle de Kirchhoff, la variable espace est explicitement supprimée, seuls subsistent des courants et des tensions, variant au cours du temps. Implicitement, l'espace est représenté dans les caractéristiques (courant-tension) des éléments.

Par exemple, la résistance d'un conducteur ohmique est donnée par :

 relation qui illustre bien que l'espace n'est pas absent du modèle, mais présent dans les caractéristiques des éléments.

 De même, dans la loi d'induction, le terme :

correspond-il à un effet auto inductif, réparti sur le circuit physique. L'approximation quasi statique revient donc ici à négliger cet effet inductif. Mais en représentant cet effet dans le circuit par une constante localisée, on peut le modéliser par une inductance, et la loi des mailles de Kirchhoff ne découle plus de l'approximation quasi statique, mais du fait que l'on localise l'effet inductif, dans le modèle.

Par exemple, on peut modéliser une source chargeant un circuit en employant l'approximation quasi statique et dans ce cas on néglige l'effet auto inductif propre au circuit même. Pour affiner le modèle, on peut vouloir tenir compte de cet effet auto inductif, mais en lui appliquant le modèle à constantes localisées.

L'outil le plus élaboré sort du cadre de ce cours : on utilise la modélisation à constantes réparties, c'est par exemple ce qui est employé pour les lignes de transmissions.

2.6.3. Vitesses de propagation

Notons pour terminer que cet outil considère des propagations instantanées des tensions et courants dans les conducteurs. Cet état de fait provient du modèle à constantes localisées. Comme déjà signalé, c'est un modèle approximatif : une onde électromagnétique se propage dans les conducteurs à une vitesse inférieure à celle de la lumière dans le vide. La limite de validité de cette approche se trouve dans une relation entre précision désirée, dimension du circuit et fréquences impliquées.

- La théorie des lignes de transmission, très utile en technique, permet d'aborder ces questions en utilisant pleinement des modèles où l'on considère des constantes réparties.

- Réciproquement, la propagation d'ondes en général peut être approchée à l'aide du modèle de Kirchhoff, avec théorie des lignes (voir leçon 2 : analogie électromécanique).

- Un autre domaine de l'électricité est directement concerné : les hyperfréquences, où les fréquences sont de l'ordre de grandeur du gigahertz.

3.1. Sources indépendantes idéales et affines
3.2. Sources dépendantes idéales et affines
3.3. Impédance de source, impédance de charge
3.4. Association de sources

3.1. Sources indépendantes idéales et affines

3.1.1. Sources idéales

Les concepts et les symboles de sources sont des outils incontournables en électronique :

Source de tension continue :
Représentation graphique de sa caractéristique :
Source de courant continu :
Représentation graphique de sa caractéristique :

Il convient de noter qu'en électronique analogique, la plupart du temps les sources produisent des tensions ou courants non continus : ils peuvent être sinusoïdaux, périodiques ou même apériodiques ou aléatoires. (On annote "=" pour des valeurs continues de courant ou tension, "~" pour des valeurs alternatives). Mais dans le cas général, il faut préciser de quel signal il s'agit. Par exemple :

3.1.2. Sources affines : exemple d'une pile

Il est aisé de constater que ce modèle de source idéale est insuffisant pour décrire un générateur réel. En effet, on constate souvent une chute de tension augmentant avec le courant de sortie, comme par exemple dans les piles :

- Une pile électrique est connectée à un circuit :
- Selon le courant que réclame le circuit, on constate expérimentalement une baisse de la tension fournie par la pile :
- On modélise la caractéristique expérimentale de ci-dessus par un modèle affine. On obtient :
- Le schéma équivalent du dipôle représentant cette caractéristique est donc :

Nous remarquons que la résistance de sortie de la source peut provenir de processus chimiques qui sont interprétés par le circuit électrique comme "ohmique".

3.1.3. Représentations de Thévenin et de Norton

En général, on est amené à définir deux types de représentation électrique de sources, représentations affines :

Représentation de Thévenin d'une source affine :

 Représentation de Norton de la même source affine :

Remarque

Le schéma suivant ne représente pas forcement un générateur physique, avec une résistance physique en sortie:
Il peut s'agir de la représentation de Thévenin du système suivant : A la fin de la leçon est présenté le théorème de Thévenin permettant de trouver, pour tout dipôle linéaire la représentation de Thévenin correspondante.

3.2. Sources dépendantes idéales et affines

3.2.1. Définition : sources commandées, dépendantes

Une source est dite dépendante si sa valeur de tension ou de courant produit est conditionnée par une autre tension ou courant. Comme pour les sources indépendantes vues plus haut, celles-ci peuvent être idéales ou affines, nous n'y revenons pas. On a la notation suivante :

Source de tension commandée :

 Source courant commandée :

3.2.2. Représentation de quadripôles à l'aide d'une source commandée

Le formalisme des quadripôles est abordé plus loin. Notons cependant que ces notions de sources commandées peuvent servir à représenter des quadripôles :

3.3. Impédance de source, impédance de charge

Sous ce point, nous traitons rapidement un problème classique d'électricité qui se rencontre aussi en physique : l'adaptation des impédances.

Soit un générateur de tension, avec résistance de sortie Ri débitant dans une résistance de charge R. On suppose que Ri est une caractéristique fixée de la source.

On s'intéresse au transfert de puissance de la source vers le récepteur. Lorsque la résistance R varie, cette puissance varie aussi. Cette dernière est maximum lorsque les deux résistances sont égales. Le rendement vaut alors 0.5.

On a :

On a l'allure suivante pour ces deux relations puissance-résistance et rendement-résistance :

et le maximum de puissance correspond à :

 Nous voyons donc qu'il peut être utile de connaître l'impédance de sortie d'un générateur, afin d'adapter éventuellement l'impédance de la charge. Par exemple, on dispose de câbles coaxiaux à impédance normalisée à 50 ohm. On associe donc éventuellement des impédances d'entrée correspondantes aux appareils de mesure comme l'oscilloscope.

3.4. Association de sources

L'association de sources ne pose pas problème à analyser, à l'aide des relations de Kirchhoff. Décrivons néanmoins les quatre cas possibles, dont deux d'entre eux sont utilisables en pratique :

3.4.1. Sources de tension en série

3.4.2. Sources de courant en parallèle 

3.4.3. Sources de tension en parallèle

Ce cas n'est pas utilisé en pratique ; il pourrait servir à obtenir une source débitant plus de courant mais avec des impédances internes faibles, toute différence de tension entre les sources produirait des très forts courant inutiles.

3.4.4. Sources de courant en série

De même, ce montage pourrait servir à débiter de plus hautes tension, mais n'est pas utilisé en pratique.

4.1. Système linéaire et principe de superposition
4.2. Théorèmes de Thévenin et de Norton

4.1. Système linéaire et principe de superposition

Si dans un système physique électrique, tous les dipôles et quadripôles sont linéaires à coefficients constants, le système d'équations résultant de l'application des relations de Kirchhoff est un système linéaire à coefficients constants.

4.1.1. Linéarisation et domaine de linéarité

Il arrive souvent que le système soit linéaire parce qu'on l'a linéarisé. Un cas fréquent en électronique comme en physique est d'imposer à l'entrée du système de faibles variations de niveau de signal, et alors les termes d'ordres supérieurs à "1" produisent des contributions négligeables. Par exemple, le lecteur peut reprendre l'exemple de la résistance différentielle d'une diode, où l'on voit que ce concept revient à une linéarisation dite de petit signal.

Bien entendu, le système ne peut être considéré linéaire à coefficients constants que dans certaines limites. Nous avons déjà évoqué la non-linéarité de l'inductance (saturation et hystérèse) et la non-autonomie de la résistance (coefficient thermique). Il peut arriver qu'on soit obligé de travailler avec des systèmes à comportement non-linéaire ; dans ce cas, on doit faire appel à des résultats scientifiques qui sortent du cadre de ce cours.

Un autre cas peut advenir en pratique : on doit introduire des éléments à caractéristique non-linéaire dans une chaîne de mesure, opération ayant pour résultat de "compenser" la non-linéarité d'un autre élément de cette chaîne. Pour une présence d'un élément à caractéristique statique quadratique, on en introduira un autre à caractéristique statique en racine carrée. Par exemple, la caractéristique d'un thermocouple n'est pas linéaire : on linéarise le capteur de température en tabulant la caractéristique "inverse" :

4.1.2. Principe de superposition

Dans le cas où l'on peut considérer le système comme linéaire, le dit "principe de superposition" exprime que l'on peut décomposer le signal d'entrée et sommer les signaux de sortie correspondants :

 4.1.3. Conséquence du principe de superposition

Nous verrons plus loin que cette propriété de décomposition est à la base de l'analyse fréquentielle, où l'on peut s'intéresser séparément aux réponses du système à des excitations sinusoïdales de fréquences différentes.

4.2. Théorèmes de Thévenin et de Norton

Nous avons vu précédemment qu'un générateur peut trouver une représentation de Thévenin ou de Norton, selon que l'on veuille exprimer le dipôle comme source de tension ou de courant respectivement.

Une représentation de Thévenin d'un générateur peut découler d'une approche expérimentale : on a mesuré la baisse de tension de la source en fonction du courant de charge, on en approxime une résistance de sortie de la source. De même pour une source de courant.

Les théorèmes de Thévenin et de Norton constituent une méthode théorique très utilisée en électronique, qui permet de réduire les dipôles linéaires à leurs équivalents de Thévenin et de Norton.

4.2.1. Théorème de Thévenin

Soit un dipôle linéaire quelconque. Il peut être ramené à une représentation de Thévenin, c'est-à-dire à une source de Thévenin avec une résistance (impédance) de sortie. (Voir "représentation de Thévenin")

a. L'impédance de sortie de Thévenin est l'impédance du dipôle, lorsque l'on court-circuite toutes ses sources de tension.

b. La tension de source de Thévenin est la tension à vide du dipôle, c'est à dire celle que l'on peut observer à sa sortie lorsqu'il ne débite pas de courant.

Exemple. Soit le dipôle suivant:

On détermine les paramètres selon les règles énoncées plus haut :

4.2.2. Théorème de Norton

Soit un dipôle linéaire quelconque. Il peut être ramené à une représentation de Norton, c'est-à-dire à une source de Norton avec une résistance (impédance) de sortie. (Voir "représentation de Thévenin")

a. L'impédance de sortie de Norton est l'impédance du dipôle lorsque l'on ouvre toutes les sources de courant.

b. Le courant de la source de Norton est celui que l'on constate à la sortie du dipôle lorsque l'on court-circuite cette dernière.

Exemple: Soit le circuit suivant:

 Il est ramené à la représentation suivante :